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彈簧產品質量特性數據(計量值)分析方法
作者:      發布時間:2010/4/29 14:17:30     來源:    點擊數:5879

 

作者:杭州彈簧有限公司    李和平    高級工程師

彈簧產品量大面廣,從高科技的人造衛星、航天飛機到門類齊全的家用電器(如冰箱、洗衣機等),各行各業,琳瑯滿目,遍布于國民經濟的各個領域。由于彈簧產品在各類高精尖的設備及裝置中起著減振、減噪、緩沖、儲能、能量變換等作用,故彈簧產品的質量十分重要,彈簧產品的質量特性數據也十分繁多。如何收集、整理、分析、利用彈簧制造過程中產生的各類質量特性數據,以指導我們各類彈簧的制造過程,進一步監控彈簧產品的過程質量,獲得理想的產品質量特性,就是本文要介紹的內容(限于篇幅,本文主要介紹常用的計量值質量特性數據的分析方法)。

一、概述

1、質量

按照GB/T19000-2008 idt ISO90002005《質量管理體系 基礎和術語》中的定義,質量是“一組固有特性滿足要求的程度”。

特性指“可區分的特征”,可以有多種類別的特性,如物理特性(彈簧的機械性能);感官特性(彈簧的表觀質量);功能特性(彈簧的工作負荷)以及時間特性(彈簧的疲勞壽命)等。

(1) 關于“固有特性”

①特性可以是固有的或賦予的。“固有的”就是指產品本身就具有的永久的特性。如彈簧的尺寸、精度、負荷及疲勞壽命等技術特性。

②賦予特性不是固有的,而是完成產品后因不同的要求而對產品所增加的特性,如彈簧產品的價格、供貨時間、包裝要求及售后服務要求等特性。

③產品的固有特性與賦予特性是相對的,某些產品賦予特性可能是另一些產品的固有特性,例如:供貨時間及貯運方式對彈簧制造而言,屬于賦予特性,但對運輸服務而言,就屬于固有特性。

(2) 關于“要求”

要求指“明示的、通常隱含的或必須履行的需求或期望”。

①“明示的”可以理解為是規定的要求。如在文件中闡明的要求或顧客明確提出的要求。

②“通常隱含的”是指組織、顧客和其他相關方的慣例或一般做法,所考慮的需求或期望是不言而喻的。例如:彈簧產品表面不應帶有可能劃傷顧客皮膚的銳邊及毛刺等。

③如汽車產品(包括主要零部件),國家規定實行3C認證的質量特性項目等。

④要求可以由不同的相關方提出,不同的相關方對同一產品的要求可能是不同的。例如:對汽車來說,顧客要求美觀、舒適、輕便、省油,但社會要求對環境不產生污染。組織在確定產品要求時,應兼顧各相關方的要求。

要求可以是多方面的,當需要特指時,應明確表示,如產品要求、質量管理體系要求、顧客要求等。

2、質量特性的分類

根據對顧客滿意的影響程度不同,應對質量特性進行分類管理。常用的質量特性分類方法是將質量特性劃分為關鍵、重要和次要三類,它們分別是:

關鍵質量特性,是指若超過規定的特性值要求,會直接影響產品安全性或產品基本功能喪失的質量特性。

重要質量特性,是指若超過規定的特性值要求,將造成產品部分功能喪失的質量特性。

次要質量特性,是指若超過規定的特性值要求,對產品功能的喪失影響輕微,或者可能會引起產品功能的逐漸喪失。

3、質量控制

質量控制是質量管理的一部分,致力于滿足質量要求。

質量控制適用于產品的設計、生產原料的采購、產品和服務的提供、市場營銷、人才資源的配置,涉及組織內幾乎所有的活動。質量控制的目的是保證產品質量滿足要求。為此,要解決要求(標準)是什么、如何實現(過程)、需要對哪些因素進行控制等問題。

質量控制是一個設定標準(根據質量要求)、測量結果、判定是否達到了預期要求,對質量問題采取措施進行補救并防止再發生的過程,質量控制不僅僅是檢驗,如在生產前對生產過程進行評審和評價的過程也是質量控制的一個組成部分。總之,質量控制是一個確保生產出來的產品滿足要求的過程。例如,為了控制采購過程的質量,采取的控制措施可以有:確定采購文件(規定采購的產品及其質量要求),通過評定選擇合格的供貨單位,規定對進貨質量的驗證方法,做好相關質量記錄的保管并定期進行業績分析。為了選擇合格的供貨單位而采用的評定方法可以有:評價候選供貨單位的質量管理體系、檢驗其產品樣品、小批試用、考察其業績等。再如,為了控制某生產過程,可以通過作業指導書規定該生產過程使用的設備、工藝裝備、加工方法、檢驗方法等,對特殊過程或關鍵過程還可以采取控制圖法監視并控制其質量的波動情況。

二、產品質量特性數據

1、質量特性數據分類

將檢測產品質量特性值所得結果用數字記錄下來,便得到質量特性值數據,簡稱質量特性數據(也稱質量指標值)

質量特性數據按質量指標獲取方式的不同可以分為兩類。

(1) 計數值

當質量特性數據只能取一個特定的數值,而不能連續取值時,比如只能取0123……時稱為計數值。計數值可以細分為以下兩種。

①計件值

對產品按件進行檢驗時所獲得的數值。比如,不合格品數、廢品數、返工件數、返修件數等以及由此而產生的不合格品率、等級品率等數值。

②計點值

每件產品上的質量缺陷個數。如彈簧鋼絲材料上的拉絲、節點、麻坑、小彎等缺陷數。

(2) 計量值

當質量特性值在一個給定的范圍內可以連續取值時所得到的一系列數據,一般還可以帶有小數,小數點后的數據可連續細分。例如,用游標卡尺測量一批彈簧的外徑,所得結果是40.11 mm40.12 mm40.13mm……。若用更精確的儀器測量,所得結果可以進一步細化地連續取值。

2、質量特性數據的特點

對產品進行檢測所得質量特性數據的特點,是具有分散性(或稱波動性或變異性)

例如:在電腦卷簧機上加工一批彈簧,要求保證的外徑尺寸是42±0.15mm。用游標卡尺測量所得結果為41.90 mm41.91 mm41.92mm 42.08 mm42.09 mm42.10 mm … 。可見,這批彈簧的外徑實際尺寸彼此大小不一,在一定范圍內是分散的,其中最大的42.10mm,最小的41.90mm,平均尺寸是41.99mm

彈簧實際尺寸相對于要求的基本尺寸產生偏差,是由于加工過程中各種因素分別或綜合造成的誤差所致。例如鋼絲材料成分和物理機械性能不均勻,工藝系統(卷簧機、機具和工件)受力變形、熱變形、振動,卷簧機和機具的制造誤差及磨損,工藝系統的調整誤差,操作工人的工作誤差,測量方法和測量器具本身固有的誤差以及讀數誤差,環境條件的變化(如溫度變化)等等。由于這些因素的影響,由同一檢驗人員用同一測量器具,檢測同一工人在同一卷簧機上先后加工出的同一批彈簧的同一參數(如外徑),所得到的結果(數據)不可能完全相同。甚至同一檢驗人員用同一測量器具多次檢驗同一彈簧的同一參數,所得結果也不一定完全相同。

由各種因素引起的工件質量特性值誤差,可分為偶然誤差和系統誤差。

偶然誤差(或稱隨機誤差),它是由一些偶然(隨機)性的原因引起的誤差。例如同一批彈簧鋼絲經過熱處理(油淬火回火)后,其金相組織和強度、硬度不均勻,卷制時的卷曲力和工藝系統彈性變形大小也就不同,卷出來的彈簧就有可能長度不一,負荷不一。

引起偶然性誤差的各種因素的影響程度彼此不一樣,也不一定同時起作用,所以偶然誤差的大小和方向變化不定,使產品的質量特性值數據具有分散性。

系統誤差,它是由某一特定因素引起的大小和方向不變或大小按一定規律變化的誤差。例如前述彈簧卷制時的安裝調整誤差,使卷制出的一批彈簧直徑都產生偏大的誤差,數值大小基本不變和方向不變,所以又稱為常值系統誤差。又如磨簧機在磨同一批彈簧時,因砂輪磨損,且磨損速度過快、磨損量過大,使連續加工出的一批彈簧的高度逐個增大一定的數值,則稱為變值系統誤差。

質量特性數據中,可能偶然出現個別偏差很大的數值,這可能是加工過程偶然發生的異常現象,如測量器具失準或測量時讀數偏大或偏小等原因引起的,所以又稱為過失誤差。

產品質量特性數據是波動的,存在變異。對收集到的產品質量特性數據,應進行適當處理,區分誤差的類型,分析引起誤差的原因,掌握其規律,及時采取有效的工藝技術措施,消除或減小其所引起的誤差,達到保證和提高產品質量的目的。

質量特性數據是統計分析的依據,在產品質量控制工作中,必須認真做好數據的收集。①首先要保證所記錄數據的客觀真實性,要如實地記錄,不能憑主觀臆斷改變實際數據;②其次,要預先準備好合適的記錄表格,詳細記錄檢測對象和編號、檢測項目、所用測量方法和器具、測量讀數值、檢測人員、時間、地點、環境條件(氣溫)等,以保證統計分析的順利進行和結果的可靠性。

3、質量特性數據的收集

質量特性數據是控制產品質量和改善產品質量的唯一依據,為此,對數據的收集應注意以下事項:

(1) 明確收集數據的目的

對于不同目的的數據收集,往往要用不同的收集方法和處理方法。因此,必須首先明確收集的目的。收集數據的目的有:調查工藝能力;查找質量問題產生的原因;控制加工過程的穩定性;預防出現廢品;通過抽樣檢查判斷一批產品質量的好壞等。

(2) 采用隨機抽樣

收集的數據能否具有代表性,能否客觀地反映實際質量信息,在很大程度上取決于收集數據的方法。為確保數據具有代表性,排除人為干預,隨機抽樣是行之有效的收集數據的方法。在產品抽樣時,保證產品批中每個單位產品都有被抽取的均等機會,排除了“專挑好的”和“僅揀次的”傾向,這就是隨機抽樣。

常用的隨機抽樣方法有:

①簡單隨機抽樣

這種方法就是通常所說的隨機抽樣法,之所以叫簡單隨機抽樣法,就是指總體中的每個個體被抽到的機會是相同的。為實現抽樣的隨機化,可采用抽簽(或抓鬮)、查隨機數值表,或擲隨機數骰子等辦法。例如,要從100件彈簧中隨機抽取10件組成樣本,可把這100件彈簧從1開始編號一直編到100號,然后用抽簽(或抓鬮)的辦法,任意抽出10張,假如抽到的編號是37151823354651728910個,于是就把這10個編號的彈簧拿出來組成樣本,這就是簡單隨機抽樣法。這個辦法的優點是抽樣誤差小,缺點是抽樣手續比較繁雜。在實際工作中,真正做到總體中的每個個體被抽到的機會完全一樣是不容易的,這往往是由各種客觀條件和主觀心理等許多因素綜合影響造成的。

②系統抽樣法

系統抽樣法又叫等距抽樣法或機械抽樣法。例如,要從100件彈簧中抽取10件組成樣本,首先將100件彈簧按123,…,100順序編號;然后用抽簽或查隨機數表的方法確定110號中的哪一件彈簧入選樣本(此處假定是3);進而,其余依次入選樣本的彈簧編號是:13號、23號、33號、43號、53號、63號、73號、83號、93號;最后由編號為0313233343536373839310件彈簧組成樣本。

由于系統抽樣法操作簡便,實施起來不易出差錯,因而在生產現場人們樂于使用它。如在某道工序上定時去抽一件彈簧進行檢驗,就可以看做是系統抽樣的一個例子。

③分層抽樣法

分層抽樣法也叫類型抽樣法。它是從一個可以分成不同子總體(或稱為層)的總體中,按規定的比例從不同層中隨機抽取樣品(個體)的方法。比如,有甲、乙、丙三個工人在同一臺卷簧機上倒班卷制同一種彈簧,他們卷制完成的彈簧分別存放在三個產品箱內,如果現在要求抽取15個彈簧組成樣本,采用分層抽樣法,應從存放彈簧的三個產品箱內分別隨機抽取5個彈簧,合起來一共15個彈簧組成樣本。這種抽樣方法的優點是,樣本的代表性比較好,抽樣誤差比較小。缺點是抽樣手續較簡單隨機抽樣還要繁些。

④整群抽樣法

整群抽樣法是將總體分成許多群,每個群由個體按一定方法結合而成,然后隨機地抽取若干群,并由這些群中的所有個體組成樣本。這種抽樣法的背景是:有時為了實施上的方便,常以群體(公司、工廠、車間、班組、工序或一段時間內生產的一批產品等)為單位進行抽樣,抽到的群體就全檢。這種抽樣方法的優點是抽樣實施方便。缺點是由于樣本只來自個別幾個群體,而不能均勻地分布在總體中,因而代表性差,抽樣誤差大。這種方法常用在工序控制中。

在此舉一個例子來說明這4種抽樣方法的運用。

1假設有某種彈簧產品分別裝在20個包裝箱中,每箱各裝50個,總共是1000個。如果想從中取100個彈簧組成樣本進行測試研究,那么應該怎樣運用上述4種抽樣方法呢?

①將20箱彈簧倒在一起,混合均勻,并將彈簧從11000一一編號,然后用查隨機數表或抽簽的辦法從中抽出編號毫無規律的100個彈簧組成樣本,這就是簡單隨機抽樣。

②將20箱彈簧倒在一起,混合均勻,將彈簧從11000逐一編號,然后用查隨機數表或抽簽的辦法先決定起始編號,比如16號,那么后面入選樣本的彈簧編號依次為26364656,…,906916926,…99606。于是就由這樣100個彈簧組成樣本,這就是系統抽樣。

③對所有20箱彈簧,每箱都隨機抽出5個彈簧,共100件組成樣本,這就是分層抽樣。

④先從20箱彈簧隨機抽出2箱,然后對這2箱彈簧進行全數檢查,即把這2箱彈簧看成是“整群”,由它們組成樣本,這就是整群抽樣。

三、質量特性數據的統計分析

收集數據的目的在于掌握質量現狀,分析問題原因,采取措施以改善并控制質量。對質量特性數據進行統計分析,是產品質量控制中的一項基礎工作。統計分析時,一般要求產品的批量足夠大,長時間重復生產,測試所得的質量特性數據具有隨機性,而且結合生產工藝的實際情況,才能有效地控制生產過程和產品質量。

(一)、個體、總體和樣本

個體(單位產品):要研究分析的客觀事物的一個基本單位。例如,研究分析在一定條件下生產出的一批彈簧產品的質量,其每一個彈簧就是一個個體。

總體(母體):要研究分析的客觀事物的全體。總體可以是一批產品(由于一批產品的數量是有限的,故稱有限總體),也可以是一道工序所生產的所有產品(由于工序在源源不斷地運行,總體甚至也包含今后的產品,故稱無限母體)

樣本(子樣):從總體中抽取一部分個體。樣本能提供關于總體的信息,作為對總體(或產生該總體的過程)特性進行分析推斷的依據和基礎。

從總體中抽取樣本的過程,稱為抽樣,樣本中所包含的個體數目稱為樣本容量,通常以n表示。為了能根據樣本推斷總體的特性,樣本應能提供關于總體的、客觀的、完全的信息。為此,應進行隨機抽樣,使總體中每一個體都有被抽取的同等可能性。

在統計分析中,有時要從總體中抽取許多個樣本。因此,樣本()數和樣本容量(大小)是兩個不同的概念。

(二)、直方圖

直方圖是用于對大量計量值數據進行整理加工,找出其統計規律,即分析數據分布的形態,以便對其總體的分布特征進行統計推斷的方法。主要圖形為直角坐標系中若干順序排列的矩形,各矩形底邊相等,為數據區間。矩形的高為數據落入各相應區間的頻數或頻率。

直方圖的制作過程一般可分為八個步驟,下面通過一個案例加以說明。

2  生產某種彈簧,要求其外徑x為Φ15.0±1.0(mm),試用直方圖法對生產過程進行統計分析。

1. 收集數據

5MIE(人、機、料、法、環、測)充分穩定并加以標準化的情況下,從該生產過程收集n個數據。n應不小于50,最好在100以上。

本例測得50個彈簧的外徑如表1

1                               彈簧的外徑x                     (單位:mm)

   j

i

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

2

3

4

5

15.0

15.1

15.2

15.9

15.1

15.8

15.3

15.0

15.2

15.0

15.2

15.0

15.3

15.0

15.3

15.1

15.6

15.6

14.9

14.7

15.9

15.7

15.1

14.8

14.5

14.7

14.8

14.9

14.5

15.5

14.8

14.5

14.2

15.1

15.0

15.5

14.2

14.6

15.5

14.7

15.6

14.9

15.8

15.6

14.6

15.3

14.9

15.2

15.1

14.2

15.9

15.7

15.8

15.9

15.5

14.7

14.2

14.2

14.5

14.2

注:1)Ui 為第i行數據的最大值;   2)Li為第i行數據的最小值。

2. 找出所有數據中的最大值U、最小值L并計算其極差R

            R=UL=15.914.2=1.7

3. 確定數據的大致分組數k

建議分組數參照表2選取:

2                              分組數參照表

數據個數n

分組數k

50100

100250

250以上

610

712

1020

本例取k=6

經驗證明,組數太少會掩蓋各組內數據的變動情況;組數太多會使各組的高度參差不齊,從而看不出明顯的規律。

4. 確定各組組距h

5. 計算各組上、下限

首先確定第一組下限值,應注意使最小值S被包含在第一組中,且使數據觀測值不落在上、下限值上。故第一組下限值取為:

L=14.20.15=14.05

然后依次加入組距h,即可得到各組上、下限值。第一組的上限值為第二組的下限值,第二組的下限值加上h為第二組的上限值,依次類推,最后一組應包含最大值U

各組上、下限值見表3

6. 計算各組中心值(組中值)bi

各組的中心值,按下式計算

本例各組中心值見表3

3                            頻數(頻率)分布表

產品名稱

操作者

設備名稱

零件名稱

彈簧

生產日期

檢測儀器

過程要求

制表者

檢測者

技術標準

Φ15.0±1.0

制表日期

抽樣方法

組序

組界限

組中值bi

頻數fi

頻率pi

1

14.0514.35

14.2

3

0.06

2

14.3514.65

14.5

5

0.10

3

14.6514.95

14.8

10

0.20

4

14.9515.25

15.1

16

0.32

5

15.2515.55

15.4

8

0.16

6

15.5515.85

15.7

6

0.12

7

15.8516.15

16.0

2

0.04

合計

50

100%

7. 制作頻數(頻率)分布表

頻數fi就是n個數據中落入第i組的數據個數,而頻率pi=fi/n

8. 繪制直方圖

以頻數(或頻率)為縱坐標,數據觀測值為橫坐標,以組距為底邊,數據觀測值落入各組的頻數fi(或頻率pi)為高,畫出一系列矩形,這樣得到的圖形為頻數(或頻率)直方圖,簡稱為直方圖,見圖1。在圖的右上方記上數據個數,并在圖上標明標準界限。

              

                         

1  頻數(頻率)直方圖

9. 直方圖顯示出的主要特性參數

(1) 平均值

用以表明全部數據分布的中心位置。假設有數值為x1x2x3,…,xn的一組數據,其數據個數為n。則作為直方圖的平均值 是該組數值的算術平均。

                               (公式1)

(2) 極差R

用以表明一批數據的分散程度。極差R的定義是一批數據中最大值xmax與最小值xmin之差:

R=xmaxxmin                                                    (公式2)

用極差表示分散程度是比較粗略的。

(3) 標準偏差S

用以表明一批數據分散程度的另一參數。當數據的個數n較大時,標準偏差按公式3計算:

             (公式3)

n較小時,標準偏差按公式4計算:

                                                     (公式4)

公式3與公式4相比,實際上,當n大時,二者相差不多。

用標準偏差s表示分散程度,比用極差R表示更加精確。舉例說明,今取得兩組數據:

Ⅰ— 50505050100   

Ⅱ— 4050606090

計算它們的極差,則得到

R = 10050 = 50

R = 9040 = 50     

可見,從極差的尺度看,兩組數據的分散程度相同。然而從數據的實際情況看,兩組數據的分布狀況卻不相同:

計算其標準偏差,則

sI= = 22.4

s= = 18.7

于是,兩組數據的分散程度的差異就清楚地顯露出來了(因此,當樣本大小n10時,規定R控制圖不可用,而標準差則不然)

從直方圖可以直觀地看出產品質量特性的分布形態,便于判斷過程是否處于受控狀態,以決定是否采取相應對策措施。我們可從觀察圖形本身的形狀,并與標準(公差)相比較,從而得出結論。

(1) 判斷分布類型

直方圖從分布類型上來說,可分為正常型和異常型。

正常型是指過程處于穩定(統計控制狀態)的圖型。它的形狀是“中間高、兩邊低,左右近似對稱。”“近似”是指一般直方圖多少有點參差不齊,主要看整體形狀。如圖2即為正常型直方圖,這是觀測值來自正態總體的必要條件。

作完直方圖后,首先要判斷它是正常型還是異常型。如果是異常型,還要進一步判斷它屬于哪類異常型,以便分析原因,加以處理。

下面介紹六種異常型頻數直方圖。

①孤島型(3)

在直方圖旁邊有孤立的小島出現。

2 正常型直方圖                       3 孤島型直方圖

當過程中有異常原因,例如,在短期內材料發生變化,由不熟練工人替班加工,測量有錯誤等,都會造成孤島型分布。此時應查明原因,采取措施。

②雙峰型(4)

直方圖中出現兩個峰(正常狀態只有一個峰),這是由于觀測值來自兩個總體、兩種分布,數據混合在一起造成的。例如,兩臺有一定差別的設備(或兩種材料)所生產的彈簧產品混在一起,或者兩條生產線的彈簧產品混在一起。此時應當加以分層。

③折齒型(5)

直方圖出現凹凸不平的形狀。這是由于作直方圖時數據分組太多,測量儀器誤差過大,或觀測數據不準確等造成的。此時應重新收集和整理數據。

4 雙峰型直方圖                              5 折齒型直方圖

④陡壁型(6)

直方圖像高山上的陡壁,向一邊傾斜。

通常在產品質量較差時,為得到符合標準的產品,需要進行全數檢查,以剔除不合格品。當用剔除了不合格品的產品數據作頻數直方圖時容易產生這種陡壁型,這是一種非自然形態。


標準范圍                                標準范圍

                            

6 陡壁型直方圖                         

⑤偏態型(7)

直方圖的頂峰偏向一側,有時偏左,有時偏右。

a.由于某種原因使下限受到限制時,容易發生“偏左型”。例如,用標準值控制下限,或由于加工習慣(如:孔加工往往偏小),都會形成偏左型,如圖7(a)

b.由于某種原因使上限受到限制時,容易發生“偏右型”。例如,用標準值控制上限,或由于加工習慣(如:軸外圓加工往往偏大),都會形成偏右型,如圖7(b)

     (a) 偏左                                   (b) 偏右

                                   7-7 偏態型直方圖

⑥平頂型(8)

直方圖沒有突出的頂峰,呈平頂型。一般可能是以下原因造成的。

a.與雙峰型類似,由于多個總體、多種分布混在一起。

b.由于生產過程中某種緩慢的傾向在起作用,如工具的磨損、操作者的疲勞等。

                                                      T        

                                               B

8 平頂型直方圖                        TL                      Tu

 9理想直方圖

(2) 直方圖與規格范圍比較

①觀測值分布符合規格的直方圖有以下幾種情況

a. 散布范圍B在規格范圍T=[TLTu]內,兩邊略有余量,是理想直方圖,如圖9

b. B位于T內,一邊有余量,一邊重合,分布中心偏移規格中心。這時應采取措施使兩者重合,否則一側無余量,稍不注意就會超差,出現不合格品,如圖10

                T                              T

               B                                  B

      TL                       Tu           TL                       Tu

(a)分布中心左偏                   (b)分布中心右偏

10

c. BT完全一致,由于兩側無余量,很容易出現不合格品,應加強管理,設法提高過程能力,如圖11

②觀測值分布不符合規格的直方圖有以下情況

a. 分布中心偏移規格中心,一側超出規格范圍,出現不合格品,如圖12,這時應減少偏移,使兩者重合,消除不合格品。

             T                                           T

             B                                       B


    TL                      Tu                        TL       U               Tu

             11                                       12

b. 散布范圍B大于T,兩側超出規格范圍,均出現不合格品,如圖13,這時應縮小產品質量散布范圍。

                                    T                      

                                     B                                 


                                TL          U       Tu               

13

(三)、正態分布

1、正態分布的概念

當生產過程正常時,計量特性值數據的頻率直方圖應是中間高,兩邊低,左右概略對稱的圖形,這種分布規律稱為正態分布。“正態”兩字,意為正常狀態下的分布。

如果我們以一條光滑的、單峰的、左右對稱的曲線來取代正常形態的頻率直方圖,使得曲線與x軸所圍的面積與頻率直方圖的面積基本相等,即均等于100%。此曲線稱為正態密度曲線(見圖14)

                

                              14 正態密度曲線

2、正態分布的密度函數

(1) 密度函數

正態分布密度曲線的函數表達式如下式所示:

                                         (公式5)

該函數稱之為正態分布的密度函數,它具有如下性質:

① 非負性f(x)0  ② 歸一性  ③ 對稱性f(μ+x)=f(μ-x)

(2) 參數μ和σ的意義

①幾何意義

μ為位置參數,是分布中心。密度曲線右移μ變大,密度曲線左移μ變小。

σ為形狀參數,σ越大密度曲線越平坦,σ越小密度曲線越陡峭。

② 物理意義

μ是數據的總平均值,σ是數據散布標準差。σ大則反映數據差別大,σ小則反映數據差別小。

今后我們以XN(μ,σ2)表示質量特性值X服從均值為μ,標準差為σ的正態分布。

(3) 參數μ和σ的估計

①數據不分組時

若質量特性值Xn個觀測值為X1X2,…,Xn,則

                                                              

                                      

此外,當n10時,μ可以用中位數估計,=。另一方面σ還可以用極差法估計,即 =R/d2,式中,Rn個數據的極差,即最大值減最小值,d2可從《計量值控制圖系數表》中查得(詳見參考文獻)。

3  從一批彈簧中隨機抽取5個,測量其長度,得數據如下(單位:mm)

14.5   14.1   13.1   13.5   14.8

若彈簧長度X服從正態分布N(μ,σ2),求μ,σ的估計值。

①μ的估計

* =(14.5+14.1+13.1+13.5+14.8)=14.0(mm),或者==14.1

②σ的估計

=

=0.70(mm)

或者    =R/d2

n=5,查表得      d2=2.326

所以  =(14.813.1)/2.326=0.73(mm)

②數據分組時

當質量特性值X的觀測值個數n50時,常常分成k組,記每組的組中值為bi,每組觀測值的個數即頻數為fi,則μ,σ的估算公式為:                                

                                          (公式6)

                              (公式7)

4  已知彈簧外徑X服從正態分布N(μ,σ2),測得其50個觀測值如表1,求μ,σ的估計值。

①μ的估計    

=(3×14.25×14.5+…+2×16.0)=15.1(mm)

②σ的估計 

=

=0.44(mm)

3、標準正態分布

μ=0,σ=1的正態分布N(01)稱之為標準正態分布。

(1) 密度函數                                            (公式8)

(2) 分布函數                                     (公式9)

稱之為標準正態分布的分布函數,其數值可查《正態分布函數表》(詳見參考文獻)。

Φ(u)具有如下性質:

Φ(0)=0.5                                          (公式10)

Φ(-∞)=0                                         (公式11)

Φ()=1                                           (公式12)

Φ(u)=1-Φ(u)                                   (公式13)

(3) 概率計算公式

我們可以利用Φ(u)的數值表,計算一般的正態變量X在某區間內取值的概率,若質量特性值XN(μ,σ2),則

PaXb=Φ()-Φ()                     (公式14)

5  (續例2及例4)已知彈簧外徑X服從正態分布N(15.10.442),求該生產過程的不合格品率p

①先求生產過程合格品率q

q=P14X16=Φ()-Φ()

=Φ(2.05)-Φ(2.50)= Φ(2.05)[1-Φ(2.50)]

=Φ(2.05)+Φ(2.50)1=0.97980.99381=0.9736

②再求生產過程不合格率p

p=1q=10.9736=0.0264=2.64%

參考文獻:

1.《質量專業理論與實務》中級∕全國質量專業技術人員職業資格考試辦公室組織編寫   中國人事出版社   2006.1

2.ISO9000族標準統計技術》∕韓之俊、曹秀玲編著  科學出版社   2000.1

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